Matemática e Raciocínio Lógico para Concursos

*Por Rodrigo Triches Panozzo

O peso da Matemática e do Raciocínio Lógico nos concursos públicos é elevado, pois, junto com a Língua Portuguesa, faz parte das disciplinas básicas de qualquer prova. Afinal, como assumir um cargo público sem saber escrever corretamente, sem saber calcular, ou sem pensar de forma mais racionalizada?

Estudar Matemática e Raciocínio Lógico exige um cuidado especial e, principalmente, exige TEMPO e DEDICAÇÃO, mas não fique aflito, basta um pouco de paciência e tudo pode ser resolvido. Muitas vezes, nossa ansiedade em resolver os problemas depressa faz com que a Matemática e o Raciocínio Lógico sejam “um grande bicho de sete cabeças”.

Depois de certo tempo, com certa experiência nós nos convencemos de que não é tão complicado assim.

E como podemos obter êxito? Frequentando aulas num curso, lendo, relendo, comparando e, é claro, praticando. Não conheço nada mais eficiente do que papel, lápis, borracha e umas boas horas pensando.

Atualmente, com a revolução da internet e dos celulares, temos a oportunidade de aproveitar nosso tempo ao máximo para os estudos, e em todo o lugar. Podemos ler algum texto, assistir a uma videoaula, analisar ou resolver provas de concursos passados, enfim, um universo de possibilidades para estudar.

Uma dica importante que gostaria de deixar é a de que você não precisa se limitar aos exercícios de uma única banca, de um único estilo de prova, procure diversificar, o importante é que seu nível intelectual na Matemática e no Raciocínio Lógico aumente, ficando igual ou acima daquilo que pretende concorrer. Alguns sites, como www.pciconcursos.com.br, https://acasadoconcurseiro.com.br, http://concursosnobrasil.com.br, www.folhadirigida.com.br, www.qconcursos.com possuem uma infinidade de provas de diversas bancas e de diversos cargos, sendo ambientes muito interessantes para o estudo. Dentre as bancas que poderá encontrar nesses sites estão CESPE, ESAF, FGV. Há também bancas com questões menos difíceis, como FUNDATEC, OBJETIVA, EXATUS. Essas bancas citadas costumam estar presentes em concursos de todas as esferas públicas.

Além disso, ao resolver uma questão, é necessário colocar-se “dentro do problema como se fosse seu” e pensar com racionalidade nas alternativas de solução.

Por isso, praticar, colocar-se frente a um exercício, um problema, e conseguir superá-lo, faz com que se sinta mais forte intelectualmente e com mais confiança – pré-requisitos importantes para quem está se preparando para um concurso. Nem é preciso dizer o quanto a concorrência é elevada em qualquer concurso e é realmente o momento daquele que está mais preparado tecnicamente e mentalmente.

ENTÃO, DESAFIE-SE!

E não pense que é necessário recorrer a memorizações de fórmulas matemáticas extensas, ou se preocupar com cálculos que produzem várias casas após a vírgula, já que nos concursos não é permitido o uso de calculadora, preocupe-se, portanto, em compreender a teoria que está por trás, a ideia, e, com isso, minimize os cálculos e esforços para a obtenção do resultado. Outro ponto importante é aprender a fazer simplificações nas fórmulas e expressões, pois isso reduzirá, e muito, o tempo gasto com cálculos. Para isso, não fuja das frações, pois quanto menos aversões a esse tipo de escrita dos nossos números você tiver, mais tempo poderá economizar numa questão, além de esgotar-se menos mentalmente.

Para finalizar, no momento de resolver um problema de Matemática ou Raciocínio Lógico, tenha atitude, leia e releia a questão até estar ciente do que precisa buscar, não faça como muitos que, mesmo antes de ler o problema, já estão reclamando.

Identifique qual teoria está ligada ao problema que precisa resolver (regra de três, funções, análise combinatória…).

Comece pelas questões mais simples e vá, gradualmente, aumentando o nível de dificuldade ao fazer exercícios e provas.

Encontre seu tempo para resolver os exercícios, já que apressar as coisas normalmente atrapalha e nos deixa ansiosos e com sentimento de incapacidade e, por fim, aprenda a fazer verificações de suas respostas. Esteja convencido de que o resultado encontrado faz sentido para o problema.

Para mim, estudar Matemática e Raciocínio Lógico é uma arte, onde a PRÁTICA leva-nos à PERFEIÇÃO.

Abraços, Profe. Rodrigo.

* Rodrigo Triches Panozzo possui graduação em Matemática pela Universidade de Caxias do Sul (UCS), especialização em Estatística Aplicada pela mesma universidade e mestrado em Matemática Aplicada pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). É docente no Colégio Mutirão Máster nos Preparatórios para Concursos e Cursos Técnicos e no Ensino Médio do Colégio Mutirão Objetivo de Caxias do Sul.

 

MENOS É MAIS!

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*Por Fábio de Oliveira Brondani

Seguidamente, nas aulas de Matemática, nota-se certa inquietação, por parte dos alunos, no que se refere à regra de sinais, especialmente quando se fala na regra da multiplicação e da divisão. Percebe-se que, por mais que se tente justificar o fato através de exemplos e de macetes há, ainda, certa resistência na assimilação. Diante desse fato, o objetivo deste artigo é justificar de um modo mais formal esta regra. Entretanto, antes desta “prova”, será apresentado, de maneira resumida, o contexto histórico do surgimento dos números. Por fim, serão apresentadas algumas situações onde pode-se perceber que, de fato, menos é mais.

Antes de falar nos sinais dos números, é preciso falar do surgimento deles. Basicamente, no início da história humana, esses surgiram com um único propósito: a necessidade de contar, ou seja, de atribuir valores e quantidades. Estima-se que o homem, há 500.000 anos atrás, já tinha a capacidade de contar. É claro que a representação desse processo não se dava através dos símbolos que hoje se utiliza (1, 2, 3, …). Cada povo desenvolvia o seu “sistema numérico”, que, muitas vezes, eram representações que continham desenhos, como é o caso do sistema de numeração utilizado pelo povo egípcio por volta de 3.300 a.C.. Um outro modo de contar, naquela época, era utilizando-se pedras ou sementes de milho, por exemplo. Essa técnica era muito utilizada por pastores para contar seu rebanho de animais. Tal técnica pode ser utilizada hoje para introduzir o conceito de números (quantidades) para as crianças no início do Ensino Fundamental. Os números que expressam quantidades, os quais são identificados hoje como 1, 2, 3, …, fazem parte do Conjunto dos Números Naturais.

Seguindo um pouco mais no tempo, no início do Renascimento, a expansão comercial começou a crescer de forma considerável. Sempre quando se fala em comércio, logo se pensa em lucros e prejuízos. Foi aí que surgiu a seguinte questão: “como pode-se representar numericamente lucros e prejuízos? ”. Diante desse problema, houve, então, a necessidade de encontrar uma resposta a essa pergunta, surgindo, assim, o conceito de número negativo. Esse conceito foi um grande problema para os matemáticos em geral. Gauss e o matemático francês Lazare Carnot escreveram artigos procurando entender esse conceito. Entretanto, foi somente no Século XIX que houve um melhor entendimento sobre esses números. Foi quando deixaram de pensar que os conceitos matemáticos não representavam coisas, mas, sim, relações entre as coisas. Com essa mudança de pensamento, pôde-se avançar nessa área.

A partir desse entendimento, foi possível, então, pensar em uma regra que estabelecesse os sinais dos números, conforme fosse o problema aplicado. Cabe ressaltar que, até chegarem a essa regra, muitos matemáticos perderam várias noites de sono. Estima-se que eles somente entraram em acordo e aceitaram a regra atual depois de cerca de 1.500 anos de muitos debates e estudos.

Como já foi dito aqui, das quatro regras existentes, três delas podem ser entendidas por intermédio de exemplos muito práticos. São as regras: adição/subtração de sinais iguais; adição/subtração de sinais diferentes e multiplicação/divisão de sinais diferentes. Para entendê-las, basta utilizar problemas que envolvam matemática financeira. Nesse caso, deve-se levar em conta que os valores positivos representam valores que cada um dispõe, enquanto que os valores negativos representam valores que cada pessoa deve. Utilizando esse raciocínio, que é bastante lúdico, é possível entender perfeitamente as regras citadas anteriormente. Diante disso, aqui será omitido a prova formal de tais regras.

Entretanto, a utilização de problemas financeiros para a interpretação das regras de sinais não se aplica na multiplicação/divisão de sinais iguais. Por exemplo, sabe-se que (-2) x (-3) = + 6. Se fosse possível a utilização desses problemas para resolver o sinal desta operação, haveria a seguinte situação: “uma dívida de 2, multiplicada por outra dívida de 3, dá um lucro de 6”. Impossível! Diante disso, segue a prova matemática (formal) de que menos com menos é mais.

 

Considere dois números reais A e B. Então é possível afirmar que (-A).(-B)= A.B. De fato:

(-A).(-B)=-[A.(-B)]=-[-A.B]=A.B

 

Com certeza, para quem é leigo no assunto, isso não quer dizer muita coisa. Apesar disso, as operações que foram utilizadas na demonstração do problema são conhecidas de todos. Em outras palavras, para mostrar que multiplicação/divisão de sinais iguais é um valor positivo, basta levar em conta as propriedades dos números que começaram a ser estudadas no 6º ano do Ensino Fundamental. Dentre elas: existência de elemento neutro, associatividade, distributividade, comutatividade e elemento simétrico. Essa é a forma matemática de se mostrar tal regra e que deixa tantas pessoas inquietas quando a observam.

     Dessa forma, o intuito deste artigo, além de mostrar que de fato “menos com menos dá mais”, é mostrar algo ainda maior, isto é, MENOS SEMPRE É MAIS!

Veja algumas situações em que isso ocorre:

1º) MENOS ódio MAIS amor;

2º) MENOS egoísmo MAIS caridade;

3º) MENOS desperdício MAIS recursos disponíveis;

4º) MENOS violência MAIS paz;

5º) MENOS preconceito MAIS liberdade de expressão.

Enfim, são tantos os exemplos em que se pode aplicar essa regra que se torna impossível elencar todos eles. Portanto, que essa regra, que gera muita dúvida e inquietação, possa levá-los a refletir sobre as diversas situações em que o mundo de hoje se encontra. Que cada um consiga aplicá-la no seu dia a dia, não apenas corretamente na Matemática, mas também enquanto pessoas de bem. Quando todos colocarem em prática o que essa regra diz, o mundo se tornará como a ciência Matemática é, ou seja, o mundo tornar-se-á perfeito. Dessa forma, as pessoas perceberão e entenderão, através da prática, que menos é mais!

Profº Fábio de Oliveira Brondani – Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria UFSM, Especialista em Matemática Aplicada e Computacional pela UCS e Mestre em Matemática pela Universidade Federal de Itajubá – Área de Concentração: Equações Diferenciais Ordinárias. Docente no Colégio Mutirão Máster onde ministra as disciplinas de Matemática e Física.

Fontes:

http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/historia_numeros.pdf

http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/historia%20raul%20neto.pdf

A Teoria de Controle e o Estudo de Matrizes

Sem título

Por Fábio de Oliveira Brondani

No material didático de Matemática II da Educação de Jovens e Adultos, especificamente no módulo II, é abordado um tema bastante utilizado na Matemática em geral, o estudo de Matrizes. Basicamente, esse conceito surgiu aproximadamente no séc. II a.C., mas por algum motivo, não foi aprofundado. E, somente, no final do séc. XVII e meados do séc. XVIII, voltou a reaparecer e, ainda hoje, possibilita a conclusão de resultados fantásticos.

É de conhecimento de todos que, uma matriz nada mais é que uma tabela, composta por linhas (horizontais) e colunas (verticais), sendo que cada elemento dessa tabela pertence a uma única linha e a uma única coluna. Como exemplos, pode-se citar as planilhas do Excel, tabelas de classificação de um campeonato de futebol, o boletim de desempenho escolar, entre tantos outros.

O início deste estudo está intimamente relacionado com a tentativa de resolução de sistemas lineares. Os babilônios estudaram problemas que levam a resolução de sistemas lineares com duas equações e duas variáveis. Mas, foram os chineses que se aproximaram mais do conceito de Matriz. Uma prova disso pode ser encontrada no texto “Os Nove Capítulos da Arte Matemática”, escrito na dinastia Han, em que aparecem alguns exemplos relacionados a este tema. No entanto, o objetivo deste artigo não é resgatar fatos históricos relacionados ao surgimento desse conceito, mas sim, apresentar uma aplicação bem recente dele, conhecida como Teoria de Controle.

A Teoria Matemática de Controle ou simplesmente Teoria de Controle é largamente aplicada na área da Engenharia. Historicamente, as ideias de sistemas de controle estão presentes desde a Grécia Antiga. Mas a Teoria de Controle tem como marco inicial, a publicação do trabalho “On Governors” de James C Maxwell, em 1868, um importante artigo científico que trata de um regulador centrífugo, isto é, um dispositivo que controla a velocidade de rotação de uma máquina de forma a manter a velocidade constante, independentemente da carga mecânica ou das condições de operação. Por exemplo, pode-se citar as máquinas a vapor, onde se regula a admissão de vapor nos cilindros. Cabe ressaltar que para a época, essa descoberta foi considerada um grande avanço, visto que antes da Revolução Industrial, as máquinas que predominavam na indústria eram a vapor.

Com a publicação desse resultado, muitos cientistas da época começaram a ter interesse por esse assunto e passaram a obter resultados significativos sobre ele, mas nas décadas de 1960 e 1970 houve um grande desenvolvimento de uma teoria estrutural dos sistemas de controle. Nessa teoria, os conceitos de controlabilidade e observabilidade tornaram-se conceitos-chaves. A partir desses conceitos, a indústria tecnológica começou a se desenvolver de forma impressionante, houve um avanço no que diz respeito a lançamentos de satélites e foguetes, um grande desenvolvimento da robótica, bem como a modalidade de piloto automático nos aviões em geral. Tudo devido ao fato de que a Teoria de Controle busca estudar, basicamente, a estabilidade.

Toda essa teoria, que é muito recente, foi construída tendo como base a Teoria de Matrizes. É claro que é um estudo aprofundado, mas tudo começa com definições que a apostila do curso, no referido módulo, aborda. Ou seja, operações de matrizes e cálculo de determinantes. Logo, a ideia que se ouve, frequentemente, sobre inaplicabilidade dos conhecimentos estudados, nas aulas de Matemática em geral, não se aplica. Como se pode ver, conceitos que geralmente não se confere a devida importância podem ser peças-chaves para a resolução de problemas, podendo inclusive transformar o mundo.

Portanto, pode-se dizer que o desenvolvimento tecnológico mundial está relacionado de forma bem íntima com o desenvolvimento da Matemática, como é o caso da Teoria de Controle. Ela é a ciência que dá suporte a muitas outras e que ajuda a solucionar problemas em geral.

Para concluir, segue a descrição dessa teoria na página do IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada:

“A Teoria de Controle tem contribuído de maneira fundamental para o progresso tecnológico em diversas áreas, nas últimas décadas. Ela tem tido um grande impacto mesmo em áreas tais como biologia e economia. A teoria clássica (sistemas de controle automático) tem sido amplamente utilizada na sociedade moderna, desde simples aplicações, como no controle de temperatura de refrigeradores, até em sistemas altamente sofisticados, como em aviões e satélites. Vale salientar, como um marco em aplicação tecnológica, que a Teoria de Controle foi fundamental no sucesso do projeto Apollo, no desenvolvimento dos jatos F-16, e mais recentemente no continuado sucesso do ônibus espacial americano e outros programas espaciais”.

Profº Fábio de Oliveira Brondani – Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria UFSM, Especialista em Matemática Aplicada e Computacional pela UCS e Mestre em Matemática pela Universidade Federal de Itajubá – Área de Concentração: Equações Diferenciais Ordinárias. Docente no Colégio Mutirão Máster onde ministra as disciplinas de Matemática e Física.

Referências:

www.impa.br (Acesso em: 13/05/2017)

– Brondani, F., Controle de Ciclos Limites em Sistemas de Controle Lineares em Malha Fechada, 2016.