MENOS É MAIS!

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*Por Fábio de Oliveira Brondani

Seguidamente, nas aulas de Matemática, nota-se certa inquietação, por parte dos alunos, no que se refere à regra de sinais, especialmente quando se fala na regra da multiplicação e da divisão. Percebe-se que, por mais que se tente justificar o fato através de exemplos e de macetes há, ainda, certa resistência na assimilação. Diante desse fato, o objetivo deste artigo é justificar de um modo mais formal esta regra. Entretanto, antes desta “prova”, será apresentado, de maneira resumida, o contexto histórico do surgimento dos números. Por fim, serão apresentadas algumas situações onde pode-se perceber que, de fato, menos é mais.

Antes de falar nos sinais dos números, é preciso falar do surgimento deles. Basicamente, no início da história humana, esses surgiram com um único propósito: a necessidade de contar, ou seja, de atribuir valores e quantidades. Estima-se que o homem, há 500.000 anos atrás, já tinha a capacidade de contar. É claro que a representação desse processo não se dava através dos símbolos que hoje se utiliza (1, 2, 3, …). Cada povo desenvolvia o seu “sistema numérico”, que, muitas vezes, eram representações que continham desenhos, como é o caso do sistema de numeração utilizado pelo povo egípcio por volta de 3.300 a.C.. Um outro modo de contar, naquela época, era utilizando-se pedras ou sementes de milho, por exemplo. Essa técnica era muito utilizada por pastores para contar seu rebanho de animais. Tal técnica pode ser utilizada hoje para introduzir o conceito de números (quantidades) para as crianças no início do Ensino Fundamental. Os números que expressam quantidades, os quais são identificados hoje como 1, 2, 3, …, fazem parte do Conjunto dos Números Naturais.

Seguindo um pouco mais no tempo, no início do Renascimento, a expansão comercial começou a crescer de forma considerável. Sempre quando se fala em comércio, logo se pensa em lucros e prejuízos. Foi aí que surgiu a seguinte questão: “como pode-se representar numericamente lucros e prejuízos? ”. Diante desse problema, houve, então, a necessidade de encontrar uma resposta a essa pergunta, surgindo, assim, o conceito de número negativo. Esse conceito foi um grande problema para os matemáticos em geral. Gauss e o matemático francês Lazare Carnot escreveram artigos procurando entender esse conceito. Entretanto, foi somente no Século XIX que houve um melhor entendimento sobre esses números. Foi quando deixaram de pensar que os conceitos matemáticos não representavam coisas, mas, sim, relações entre as coisas. Com essa mudança de pensamento, pôde-se avançar nessa área.

A partir desse entendimento, foi possível, então, pensar em uma regra que estabelecesse os sinais dos números, conforme fosse o problema aplicado. Cabe ressaltar que, até chegarem a essa regra, muitos matemáticos perderam várias noites de sono. Estima-se que eles somente entraram em acordo e aceitaram a regra atual depois de cerca de 1.500 anos de muitos debates e estudos.

Como já foi dito aqui, das quatro regras existentes, três delas podem ser entendidas por intermédio de exemplos muito práticos. São as regras: adição/subtração de sinais iguais; adição/subtração de sinais diferentes e multiplicação/divisão de sinais diferentes. Para entendê-las, basta utilizar problemas que envolvam matemática financeira. Nesse caso, deve-se levar em conta que os valores positivos representam valores que cada um dispõe, enquanto que os valores negativos representam valores que cada pessoa deve. Utilizando esse raciocínio, que é bastante lúdico, é possível entender perfeitamente as regras citadas anteriormente. Diante disso, aqui será omitido a prova formal de tais regras.

Entretanto, a utilização de problemas financeiros para a interpretação das regras de sinais não se aplica na multiplicação/divisão de sinais iguais. Por exemplo, sabe-se que (-2) x (-3) = + 6. Se fosse possível a utilização desses problemas para resolver o sinal desta operação, haveria a seguinte situação: “uma dívida de 2, multiplicada por outra dívida de 3, dá um lucro de 6”. Impossível! Diante disso, segue a prova matemática (formal) de que menos com menos é mais.

 

Considere dois números reais A e B. Então é possível afirmar que (-A).(-B)= A.B. De fato:

(-A).(-B)=-[A.(-B)]=-[-A.B]=A.B

 

Com certeza, para quem é leigo no assunto, isso não quer dizer muita coisa. Apesar disso, as operações que foram utilizadas na demonstração do problema são conhecidas de todos. Em outras palavras, para mostrar que multiplicação/divisão de sinais iguais é um valor positivo, basta levar em conta as propriedades dos números que começaram a ser estudadas no 6º ano do Ensino Fundamental. Dentre elas: existência de elemento neutro, associatividade, distributividade, comutatividade e elemento simétrico. Essa é a forma matemática de se mostrar tal regra e que deixa tantas pessoas inquietas quando a observam.

     Dessa forma, o intuito deste artigo, além de mostrar que de fato “menos com menos dá mais”, é mostrar algo ainda maior, isto é, MENOS SEMPRE É MAIS!

Veja algumas situações em que isso ocorre:

1º) MENOS ódio MAIS amor;

2º) MENOS egoísmo MAIS caridade;

3º) MENOS desperdício MAIS recursos disponíveis;

4º) MENOS violência MAIS paz;

5º) MENOS preconceito MAIS liberdade de expressão.

Enfim, são tantos os exemplos em que se pode aplicar essa regra que se torna impossível elencar todos eles. Portanto, que essa regra, que gera muita dúvida e inquietação, possa levá-los a refletir sobre as diversas situações em que o mundo de hoje se encontra. Que cada um consiga aplicá-la no seu dia a dia, não apenas corretamente na Matemática, mas também enquanto pessoas de bem. Quando todos colocarem em prática o que essa regra diz, o mundo se tornará como a ciência Matemática é, ou seja, o mundo tornar-se-á perfeito. Dessa forma, as pessoas perceberão e entenderão, através da prática, que menos é mais!

Profº Fábio de Oliveira Brondani – Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria UFSM, Especialista em Matemática Aplicada e Computacional pela UCS e Mestre em Matemática pela Universidade Federal de Itajubá – Área de Concentração: Equações Diferenciais Ordinárias. Docente no Colégio Mutirão Máster onde ministra as disciplinas de Matemática e Física.

Fontes:

http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/historia_numeros.pdf

http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/historia%20raul%20neto.pdf

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